A família, no entanto, não o apoiava. Sob pressão, teve de fazer um curso universitário. Optou pela Odontologia. Recém formado, passou a atuar em Rio Grande e, durante dez anos, trabalhou como dentista e jornalista simultaneamente.
Cerca de um ano depois, em 1950, viu o nascimento da Rádio Minuano, em Rio Grande, da qual foi o primeiro diretor artístico. Durante dez anos, se dividiu entre Rio Grande e a paixão pelas rádios, incluindo a Rádio Cultura Riograndina, na qual fazia radio-teatro, e o consultório odontológico. Em 1960, retornou à Capital Gaúcha e à Rádio Farroupilha, onde ficou até o início de 1968.
Em março de 1968, o Correio do Povo contratou Copstein como freelancer. Um mês depois, o efetivou. O jornalista trabalhou na empresa até junho de 1984. Além de repórter, exerceu os cargos de editor e de assessor da direção. No jornal, teve o poeta Mario Quintana como colega. Idealizou cadernos especiais, com capas coloridas, um marco para a época. Também editou o clássico caderno "Letras e Livros".
O crescimento da audiência fez com que fosse preciso encontrar uma alternativa para ouvintes que criavam situações constrangedoras. O jornalista, então, adotou o grasnar de um pato para usar quando alguém dizia algo inconveniente no ar.
Em 1995, com a formação da Rede Gaúcha Sat, o programa tornou-se nacional e passou a se chamar Brasil na Madrugada. No mesmo ano, Jayme recebeu a Medalha de Prata no Festival Internacional de Rádio de Nova York, na categoria Melhor História de Interesse Humano, com o trabalho "Memórias de um Menino de Rua", narrando a trajetória do economista Carlos Nelson dos Reis.
Em 2004, deixou o comando do programa, tornando-se comentarista da Rádio Gaúcha até 2007. Depois disso, apresentou o programa "Paredão", na Rádio Pampa e foi colunista do Jornal "O Sul". Copstein trabalhou ainda na Band AM, Jornal do Comércio, Diário de Notícias e foi colunista do site Coletiva.net. Recentemente, tinha um blog, em que publicou o último post em 28 de setembro de 2016.
Como escritor, Jayme teve três livros publicados: "Notas Curiosas da Espécie Humana" (2001), "A Mosca e o Elefante" (2006) e "Ópera dos Vivos" (2008).